back to top

Distribuzione di Boltzmann: probabilità

La Legge di Distribuzione di Boltzmann e le Molecole in Equilibrio Termodinamico

La legge di distribuzione di Boltzmann è fondamentale per comprendere il comportamento delle molecole in equilibrio termodinamico. Formulata da Maxwell nel 1859 e successivamente generalizzata da Ludwig Boltzmann nel 1871, essa fornisce informazioni cruciali sulla distribuzione delle energie molecolari all’interno di un sistema. Questo concetto è essenziale per valutare le proprietà termodinamiche attraverso la meccanica statistica.

La Funzione di Distribuzione e la Probabilità nelle Molecole

La funzione di distribuzione, secondo la legge di Boltzmann, rappresenta la probabilità che una molecola abbia una certa posizione e una certa velocità in un determinato istante. Tale probabilità è determinata dall’energia totale della molecola, composta da energia potenziale ed energia cinetica, e si riduce proporzionalmente al fattore e^(-ε/kT) all’aumentare dell’energia.

Probabilità secondo la Legge di Distribuzione di Boltzmann

La probabilità, secondo la legge di Boltzmann, può essere espressa come P = e^(-ε/kT)dxdydzdudvdw / ∫ e^(-ε/kT)dxdydzdudvdw, dove ε rappresenta l’energia totale, k è la costante di Boltzmann e l’integrale è esteso a tutte le possibili posizioni e velocità delle molecole.

Meccanica Quantistica e Distribuzione Molecolare

In ambito quantistico, le energie molecolari sono definite da livelli discreti, e quindi l’equazione precedente può essere riscritta come P_i = -g_i e^(-εi/kT)/ q, dove P_i indica la probabilità che una molecola si trovi in uno specifico stato quantico con energia ε_i, g_i rappresenta la degenerazione di quel livello energetico e q è una funzione di partizione molecolare dipendente sia dalla che dal volume del sistema.

Energia Libera di Helmholtz e Distribuzione Molecolare

Oltre alla legge di distribuzione di Boltzmann, un concetto correlato è l’energia libera di Helmholtz, che rappresenta un parametro importante per la termodinamica dei processi chimici. Questa grandezza è strettamente legata alla distribuzione energetica molecolare e risulta fondamentale per la comprensione dei sistemi termodinamici complessi.

Legge di distribuzione di Boltzmann e Termodinamica Statistica

L’energia libera di Helmholtz $A$ per $N$ molecole non interagenti tra loro è legata a $q$ dall’equazione: $A = – kT ln (q^N/N!)$. Se consideriamo che l’energia di ogni molecola può essere scritta come la somma di termini indipendenti per le traslazioni ($t$), le rotazioni ($r$), le vibrazioni ($v$) e altri gradi di libertà, possiamo semplificare ulteriormente l’espressione per $q$.

Separazione delle Energie Molecolari

Se assumiamo che le rotazioni siano quelle di un corpo rigido e le vibrazioni siano armoniche, possiamo ottenere che $q$ è dato dal prodotto: $q = q_t q_r q_v g_o … e^{(- ε_o/kT)}$.

Molecole Biatomiche

Per le molecole biatomiche con massa $m$, momento di inerzia $I$, vibrazionale $nu$ e numero di simmetria $s$, i fattori $q_t$, $q_r$ e $q_v$ sono dati rispettivamente da: $q_t = (2π nkT/h^2)^{3/2} V$, $q_r = (8π^2 I kT/sh^2)$ e $q_v = {1 – e^{(hν/kT)}}^{-1}$.

Distribuzioni Statistiche

La legge di distribuzione corretta dipende se le molecole contengono un numero pari o dispari di particelle elementari. La si applica nel primo caso, mentre la nel secondo. Entrambe si riducono alla distribuzione di Boltzmann quando il numero di stati quantici disponibili è molto superiore al numero di molecole.

La statistica di Boltzmann si applica con precisione eccetto per isotopi dell’idrogeno e dell’elio a temperature inferiori a 10 K. Si può generalizzare la legge di distribuzione di Boltzmann a un sistema di $N$ particelle interagenti definendo una nuova funzione di probabilità $Pi_i$, proporzionale al $e^{(-Ei/RT)}$, e ottenendo la funzione di partizione canonica $Q = sum_i e^{(-Ei/RT)}$ per calcolare proprietà termodinamiche del sistema.

GLI ULTIMI ARGOMENTI

Leggi anche

Scoperti nuovi dettagli sulle ultime ore del naufragio del Titanic grazie a una scansione 3D che rivela l’impatto con l’iceberg

Incredibile scoperta sul Titanic! Scansione digitale rivela dettagli mai visti prima sull'affondamento del 1912. Locali caldaie attivi fino all'ultimo e fori nello scafo grandi...

Dazi doganali: scoperti i loro impatti devastanti sull’importazione delle merci – ora l’economia trema

🚨 ATTENZIONE: Trump colpisce ancora! Nuovi dazi doganali annunciati durante il "Liberation Day" del 2 aprile 2025 fanno tremare il commercio mondiale. Protezionismo o...

L’intelligenza artificiale viene salvata per il pianeta, ma solo se smette di consumarlo, secondo gli esperti verdi

Nuovo report di Google rivela che l'IA promette grandi benefici per clima e competitività europea, ma consuma troppa energia e acqua. Serve trasparenza e...
è in caricamento