Il modello di Sommerfeld, dovuto al fisico tedesco Arnold Sommerfeld, risalente al 1916, detto anche modello dell’elettrone libero, costituisce un’estensione del modello atomico di Bohr per spiegare la struttura fine osservata delle righe spettrali.
Il modello atomico di Bohr proposto nel 1913 è una teoria rivoluzionaria che si basava sulle righe spettrali dell’atomo di idrogeno in cui fu introdotto il concetto di quantizzazione dell’energia. Tale modello, tuttavia, non dava risultati soddisfacenti per atomi diversi dall’idrogeno o ioni con un solo elettrone e non riusciva a spiegare perché l’intensità delle linee spettrali non erano tutte uguali.
Nell’ottobre 1914 Johannes Stark pubblicò i risultati della sua indagine sperimentale sulla scissione delle righe spettrali nell’idrogeno dette righe di Balmer in presenza di campo elettrico, che mostravano che la frequenza di ciascuna riga si scompone in un multipletto di frequenze.
Il modello di Sommerfeld prese spunto da queste osservazioni e si pose come obiettivo di modificare il modello di Bohr per giustificare questa scomposizione. Pertanto nel modello di Sommerfeld gli elettroni appartenenti alla stessa orbita non necessariamente dovevano avere la stessa energia e le energie di alcuni elettroni della stessa orbita possono essere diverse dalle energie degli altri elettroni.
Postulati del modello di Sommerfeld
Secondo il modello di Sommerfeld le orbite potevano essere sia circolari che ellittiche e pertanto il percorso di un elettrone attorno al nucleo può essere un’ellisse con il nucleo posizionato in uno dei suoi fuochi. Quando il percorso è ellittico vi sono due assi ovvero l’asse maggiore e l’asse minore. Quando la lunghezza dell’asse maggiore e minore diventa uguale allora l’orbita è circolare.
La velocità dell’elettrone che si muove in un’orbita ellittica varia in diverse parti dell’orbita e ciò provoca la variazione relativistica della massa dell’elettrone in movimento. Pertanto quando le orbite ellittiche sono consentite vi sono due grandezze variabili ovvero la distanza variabile dell’elettrone dal nucleo e la posizione angolare variabile dell’elettrone rispetto al nucleo cioè l’angolo azimutale.
Per trattare queste due variabili è quindi necessario aggiungere al numero quantico n proposto da Bohr, correlato all’energia dell’elettrone, un nuovo numero quantico, chiamato numero quantico orbitale o azimutale che attualmente viene indicato come numero quantico secondario.
Il nuovo numero quantico nel modello di Sommerfeld
Sommerfeld introdusse il numero quantico l per caratterizzare il momento angolare in un’orbita, cioè determina il momento angolare orbitale dell’elettrone i cui valori variano da zero a (n-1). Il momento angolare dell’elettrone che si muove su un’orbita ellittica è dato da:
kh/2π dove k è un numero intero diverso da zero e quindi può assumere valori pari a k = 1,2,3,4…
Il valore di k dipende dal valore di n. Per ogni valore di n, ci sono n valori di k. Se n = 1 allora k =1; per n = 2 allora k = 1, 2; per n = 3 allora k = 1, 2, 3. n = 4 allora k = 1, 2, 3, 4. Quando i valori di k ed n sono uguali, l’orbita dell’elettrone è circolare cioè la lunghezza dell’asse maggiore dell’ellisse sarà uguale alla lunghezza dell’asse minore dell’ellisse.
Perciò il rapporto n/k è pari al rapporto tra la lunghezza dell’asse maggiore e la lunghezza dell’asse minore. All’aumentare di k l’ellitticità diminuisce e quando k = n allora l’orbita è circolare. Inoltre Sommerfeld suggerì che le orbite sono costituite da sottolivelli energetici a differenti energie detti s,p,d e f.
Limiti del modello di Sommerfeld
Sulla base del modello atomico di Sommerfeld, tuttavia l’energia totale di un elettrone nell’orbita ellittica era la stessa di quella ottenuta da Bohr pertanto l’introduzione delle orbite ellittiche non forniva nuovi livelli di energia e quindi nessuna nuova transizione e quindi non riusciva a spiegare la struttura fine delle righe spettrali.
Tuttavia, sulla base della variazione della massa dell’elettrone con la velocità, Sommerfeld riuscì a trovare la soluzione al problema della struttura fine delle righe spettrali. Infatti secondo Sommerfeld, la velocità dell’elettrone è massima quando l’elettrone è più vicino al nucleo e minima quando è più lontano dal nucleo.
Ciò implica che la massa effettiva dell’elettrone sarà diversa in diverse parti della sua orbita e, tenendo conto della variazione relativistica della massa dell’elettrone, Sommerfeld modificò la sua teoria e dimostrò che il percorso dell’elettrone non è una semplice ellisse ma un’ellisse in precessione chiamata rosetta spiegando così la struttura fine delle righe spettrali dell’atomo di idrogeno.
Tuttavia questo modello, come il modello atomico di Bohr, non riesce a spiegare lo spettro di emissione di atomi o ioni con più di un elettrone, l’effetto Zeeman e l’effetto Stark. Solo dopo la scoperta della natura duale degli elettroni e il principio di indeterminazione di Heisenberg si chiarì a fondo la struttura fine delle righe spettrali