Oscillatore armonico quantistico: teoria e applicazioni
L’oscillatore armonico quantistico gioca un ruolo cruciale in fisica, poiché rappresenta uno dei pochi sistemi per i quali l’equazione di Schrödinger può essere risolta in modo rigoroso. Esso è rappresentato dal moto vincolato di due particelle di massa m1 e m2 legate da una molla. La molla esercita una forza elastica di richiamo proporzionale allo spostamento, governata dalla legge di Hooke F = -w*h, con k costante di forza e w spostamento. Le equazioni che descrivono l’energia cinetica T e potenziale U del sistema sono: T = ½ (m1 + m2)²*x² + ½ mr*w² e U = ½ kw², dove mr è la massa ridotta e x è la coordinata interna.
Le equazioni lagrangiane del moto e le soluzioni del sistema permettono di separare due distinti tipi di movimento: il moto traslazionale del baricentro e il moto armonico di vibrazione del sistema, caratterizzato da una frequenza di vibrazione ν = 1/2π √(k/mr). L’energia totale della vibrazione è rappresentata da H = ½ mrw² + ½ kw², con p = mrw come quantità di moto. L’operatore hamiltoniano assume l’espressione H = -h²/8π²mr (d²/dw²) + kw²/2.
L’equazione di Schrödinger vibrazionale dell’oscillatore armonico quantistico è HΨv = EvΨv, dove Ev è l’energia e Ψv la funzione d’onda, dipendente dal numero quantico vibrazionale ν. Le espressioni per l’energia e le funzioni d’onda vibrazionali sono rappresentate in una tabella, con rappresentazioni grafiche delle prime quattro funzioni d’onda. Si evidenzia come i livelli energetici siano distanziati tra loro di hνc.
La teoria quantistica delle perturbazioni dipendenti dal tempo spiega la transizione tra stati stazionari, stabilendo che ciò è possibile se l’integrale di Ψv”*MΨv’ in dw è diverso da zero. Questo implica che M debba essere una funzione dispari, confermando la validità della transizione descritta dagli stati vibrazionali.