Particella in una scatola monodimensionale: soluzioni, probabilità, grafici

Particella in una scatola monodimensionale: soluzioni e probabilità

Il modello della particella in una scatola monodimensionale è una tecnica utilizzata per trovare soluzioni approssimative per sistemi fisici più complessi. L’equazione che regola il comportamento di una particella in una scatola monodimensionale è la seguente:

Indice Articolo

d^2φ / dx^2 = – 2m/ħ^2 [E – U(x)] φ(x)

dove φ(x) è la funzione d’onda, m è la massa della particella, ħ è la costante di Planck ridotta ( = h/2π), E è l’energia totale della particella e U(x) è l’energia potenziale della particella.

Soluzioni

Per trovare le soluzioni di questa equazione, è necessario impostare alcune condizioni. Le condizioni principali da considerare sono:

) φ(x) → 0 quando x → ± ∞
2) φ(x) → se x è in un posto fisicamente incompatibile
3) φ(x) è una funzione continua
4) φ(x) è una funzione normalizzata

Considerando una particella in una scatola rigida di lunghezza L con pareti impenetrabili, notiamo che l’energia potenziale può assumere due valori:
U(x) = 0 se 0 ≤ x ≤ L
U(x) = ∞ se x L

Essendo la particella confinata all’interno della scatola, l’equazione d’onda della particella diventa:

d^2φ / dx^2 = – 2m/ħ^2 E φ(x)

Ponendo B^2 = 2mE/ħ^2, l’equazione diventa:
d^2φ / dx^2 = B^2 φ(x)

Un’ipotesi per trovare le soluzioni all’equazione d’onda è che φ(x) = sin(Bx). Dalla prima condizione, otteniamo BL = nπ, il che implica che B = nπ/L, dove n = 1,2,3…

Quindi, l’equazione d’onda per lo stato quantico n-simo vale:
φ_n(x) = √2/L sin(nπx/L) per 0 ≤ x ≤ L
mentre φ_n(x) = 0 per x L

Probabilità

La probabilità P_n di trovare la particella in una qualsiasi posizione sull’asse x è data dal quadrato di φ_n(x):
P_n(x) = ∣ φ_n(x)∣^2 = 2/L sen^2(nπx/L)

Questa equazione ci permette di individuare le regioni, dette nodi, in cui la probabilità di trovare la particella è pari a zero. Ad esempio, per trovare la probabilità di trovare la particella nello stato quantico 2 tra x = L/4 e x = 3L/4, possiamo utilizzare l’integrazione o risolvere il problema graficamente. La risoluzione grafica è particolarmente utile per funzioni la cui distribuzione è simmetrica.

Semplificando e comprendendo il modello della particella in una scatola monodimensionale, possiamo ottenere informazioni cruciali sul comportamento delle particelle all’interno di questo scenario.

GLI ULTIMI ARGOMENTI

Leggi anche

La cometa di Pasqua potrebbe essere individuata a occhio nudo, specialmente in questi giorni, sfidando le stime degli esperti.

Cieli in fiamme, gente! Una cometa pazza di nome SWAN25F, scoperta da un astrofilo che rovistava nei dati della sonda SOHO, sta sfrecciando nei...

Gli americani imposero le AM Lire in Italia durante la Seconda Guerra Mondiale per rafforzare l’occupazione economica

Le Lire Americane: L'Occupazione in Tasca che Fa Impazzire i Collezionisti! Sai che gli USA hanno invaso l'Italia non solo con i carri armati, ma...

Alaska e Argentina uniti dalla Panamericana, la strada più lunga del mondo con una storia controversa che ignora confini storici e interessi nazionali

Avventura Epica sulla Panamericana: Da Alaska a Argentina, una Strada che Fa Impazzire! Se pensavate che le strade americane fossero solo noia e traffico, preparatevi...
è in caricamento