Particella in una scatola monodimensionale: soluzioni e probabilità
Il modello della particella in una scatola monodimensionale è una tecnica utilizzata per trovare soluzioni approssimative per sistemi fisici più complessi. L’equazione che regola il comportamento di una particella in una scatola monodimensionale è la seguente:
d^2φ / dx^2 = – 2m/ħ^2 [E – U(x)] φ(x)
dove φ(x) è la funzione d’onda, m è la massa della particella, ħ è la costante di Planck ridotta ( = h/2π), E è l’energia totale della particella e U(x) è l’energia potenziale della particella.
Soluzioni
Per trovare le soluzioni di questa equazione, è necessario impostare alcune condizioni. Le condizioni principali da considerare sono:
1) φ(x) → 0 quando x → ± ∞
2) φ(x) → se x è in un posto fisicamente incompatibile
3) φ(x) è una funzione continua
4) φ(x) è una funzione normalizzata
Considerando una particella in una scatola rigida di lunghezza L con pareti impenetrabili, notiamo che l’energia potenziale può assumere due valori:
U(x) = 0 se 0 ≤ x ≤ L
U(x) = ∞ se x L
Essendo la particella confinata all’interno della scatola, l’equazione d’onda della particella diventa:
d^2φ / dx^2 = – 2m/ħ^2 E φ(x)
Ponendo B^2 = 2mE/ħ^2, l’equazione diventa:
d^2φ / dx^2 = B^2 φ(x)
Un’ipotesi per trovare le soluzioni all’equazione d’onda è che φ(x) = sin(Bx). Dalla prima condizione, otteniamo BL = nπ, il che implica che B = nπ/L, dove n = 1,2,3…
Quindi, l’equazione d’onda per lo stato quantico n-simo vale:
φ_n(x) = √2/L sin(nπx/L) per 0 ≤ x ≤ L
mentre φ_n(x) = 0 per x L
Probabilità
La probabilità P_n di trovare la particella in una qualsiasi posizione sull’asse x è data dal quadrato di φ_n(x):
P_n(x) = ∣ φ_n(x)∣^2 = 2/L sen^2(nπx/L)
Questa equazione ci permette di individuare le regioni, dette nodi, in cui la probabilità di trovare la particella è pari a zero. Ad esempio, per trovare la probabilità di trovare la particella nello stato quantico 2 tra x = L/4 e x = 3L/4, possiamo utilizzare l’integrazione o risolvere il problema graficamente. La risoluzione grafica è particolarmente utile per funzioni la cui distribuzione è simmetrica.
Semplificando e comprendendo il modello della particella in una scatola monodimensionale, possiamo ottenere informazioni cruciali sul comportamento delle particelle all’interno di questo scenario.
