La distribuzione delle velocità molecolari secondo l’equazione di Maxwell-Boltzmann
L’equazione di Maxwell-Boltzmann, che rappresenta la base della teoria cinetica dei gas, fornisce la distribuzione delle velocità per un gas a una determinata temperatura. Da questa funzione di distribuzione sono derivabili la velocità più probabile, la velocità media e la velocità quadratica media.
Secondo i postulati dell’energia cinetica, le particelle gassose si muovono con diverse velocità in modulo, direzione e verso, e cambiano costantemente a causa degli urti. È possibile calcolare statisticamente la frazione di particelle che ha una velocità compresa tra un qualunque valore v e v + dv, indipendentemente dalla direzione e verso, anche se non è possibile conoscere la velocità delle singole particelle. Questo calcolo è espresso dalla relazione di Maxwell-Boltzmann nella seguente forma:
dn/N = 4 π ( m/ 2π kT)^3/2 v^2 dv e^-mv^2/ 2 kT.
La curva della funzione rappresenta la variazione della frazione di particelle rispetto a quelle totali che hanno una velocità compresa tra v e v + dv. La funzione assume valore zero quando v = 0 e tende a zero quando la velocità tende a infinito, assumendo valori positivi finiti per qualsiasi altro valore della velocità. La funzione assume il valore massimo a una velocità che rappresenta la velocità più probabile (v_pp).
La velocità media delle particelle, derivata dalla precedente equazione, risulta essere maggiore della velocità più probabile. La velocità più probabile può essere calcolata ponendo la derivata uguale a zero, risultando in v_pp = √(2 kT/m). La velocità media si ottiene dall’espressione v dv/N, che porta a v = √(8 kT/πm).
La curva della figura rappresenta un sistema gassoso a temperatura costante. Un aumento della temperatura comporta un appiattimento della curva e uno spostamento verso destra sia della velocità più probabile che di quella media. Questo significa che un aumento di temperatura ha l’effetto di aumentare la velocità delle particelle e distribuire una stessa frazione di particelle entro un intervallo di velocità sempre più ampio.
L’espressione della distribuzione di energia cinetica traslazionale per un gas ideale è:
dn/N = 2π ( 1/π kT)^3/2 E^1/2 e^-E/kT dE.
Questa funzione è analoga, ma non identica, alla curva di distribuzione delle velocità. Anche in questo caso, l’energia più probabile è minore di quella media e aumenta con l’aumento della temperatura. Dalla legge di distribuzione dell’energia è possibile calcolare la frazione di particelle che ha energia maggiore di un qualsiasi valore E*, la quale aumenta rapidamente all’aumentare della temperatura e diminuisce al diminuire del valore di E* per una stessa temperatura.
