Teoria cinetica molecolare dei gas

La teoria cinetica molecolare dei gas si basa facendo le seguenti assunzioni:

1)      Un gas è costituito da un elevato numero di molecole separate da distanze che sono molto maggiori rispetto alle loro dimensioni

2)      Le molecole si trovano in uno stato di movimento costante interrotto solo dalle reciproche collisioni e dalle collisioni con le pareti del contenitore. Le collisioni delle molecole con le pareti del contenitore vengono considerate elastiche e pertanto durante la collisione non viene persa energia

3)      Le molecole dopo le collisioni si muovono con velocità costante in linea retta

Poiché la velocità delle molecole rimane costante anche la loro energia cinetica è costante.

Teoria cinetica molecolare  e legge di Boyle

Il modello costruito risulta adeguato a fornire una spiegazione della legge di Boyle.

Si consideri un contenitore che, per semplicità, viene assunto avente forma di un cubo di lato l e si supponga che esso contenga un’unica molecola di massa m che si muove con una velocità v che ha come componenti v_x, v_y e v_z.

Valutiamo cosa succede a una molecola che, dopo la collisione con un parete YZ  perpendicolare all’asse x, rimbalza

La pressione vie espressa come forza per unità di superficie, la forza come la variazione del momento nel tempo. Quando una molecola rimbalza cambia la sua quantità di moto di 2mv.  Le componenti della velocità lungo l’asse delle x e delle y non cambiano durante la collisione con la parete del cubo; se la componente lungo l’asse delle x è pari a v_x la molecola tornerà a collidere con la parete YZ in un tempo t = 2/v_x.

Se la molecola ha una variazione di quantità di moto ogni  2/v_x secondi allora la velocità di variazione del momento nel tempo, ovvero la forza F_x è data da:

F_x = 2mv_x / 2l/v_x = mv_x²/l

La forza per unità di superficie ovvero la pressione è data da:

p_x = mv_x²/l / l² = mv_x²/ l³ = mv_x²/V (1.1)

analogamente:

p_y = mv_y²/V  (1.2)  e p_z = mv_z²/V  (1.3)

Se il contenitore contiene N molecole si ha:

p_x = N  mṽ_x ²/V,  p_y = N  mṽ_y ²/V, p_z = N  mṽ_z ²/V,

dove ṽ² sono le medie dei quadrati delle componenti della velocità.

La velocità totale di una molecola è relazionata alle componenti della velocità dall’equazione:

v² = v_x² + v_y² + v_z²

poiché i moti delle singole molecole sono casuali e indipendenti la media dei quadrati delle componenti della velocità in ogni direzione è la stessa non essendo preferita una direzione nel moto del gas pertanto:

ṽ_x ² = ṽ_y ² = ṽ_z ² = 1/3 ṽ ² (2)

La casualità del moto delle molecole ha, come conseguenza, che la pressione è la stessa su tutte le pareti.

Combinando le (1.1, 1.2 e 1.3 con la ( 2 si ha:

p_x = N m ṽ ² /3V

e p_x = p_y = p_z = p = N m ṽ ² /3V

ovvero

pV = N m ṽ ² /3

espressione che somiglia alla legge di Boyle per la quale pV = costante a temperatura costante: infatti nell’espressione pV = N m ṽ ² /3 ottenuta dalla teoria cinetica molecolare il prodotto pV dipende dalla velocità media delle molecole del gas. Se la teoria è corretta la velocità media non dipende dalla pressione o dal volume ma dalla temperatura.

Detta ε l’energia cinetica media dove

ε = ½ mv²

 se N è il numero di Avogadro l’energia cinetica E_k di una mole di molecole è data da Nε. Per una mole di gas il prodotto pV della legge di Boyle è proporzionale all’energia cinetica per mole:

E_k = Nε = ½ Nm ṽ ²

Dividendo e moltiplicando il secondo termine dell’equazione per 3 e riarrangiando si ha:

E_k = (3/2)(1/3) Nm ṽ ²

Poiché pV = N m ṽ ² /3

Abbiamo E_k = 3/2 pV

Ovvero 2 E_k/3 = pV

Poiché per l’equazione di stato di un gas ideale pV = nRT si ha che l’energia cinetica per mole è direttamente proporzionale alla temperatura.

Si ha per una mole di gas ( n = 1)

pV = RT = 2 E_k/3 ovvero

E_k = 3RT/2

Essendo E_k = Nε dove ε= ½ m ṽ ² si ha:
T = (2/3) N ½ m ṽ ²/R = M ṽ ²/3R

In cui il peso molecolare è M = Nm

La temperatura è quindi una misura del moto delle molecole: riscaldando un gas con conseguente aumento della temperatura aumenta la velocità delle molecole.