Come rappresentare un vettore su un piano cartesiano
Un vettore è definito come un segmento orientato, la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore, e una freccia che indica la sua direzione. Su un piano cartesiano, un punto può essere descritto da una coppia di coordinate (x, y). Similmente, un vettore in un piano è descritto da una coppia di coordinate vettoriali, dove la coordinata x è la componente x del vettore e la coordinata y è la componente y del vettore.
Componenti di un vettore su un piano
Le componenti di un vettore x e y sono le proiezioni ortogonali su gli assi x e y nel sistema cartesiano. Utilizzando la regola del parallelogramma per l’addizione vettoriale, ogni vettore su un piano cartesiano può essere espresso come la somma delle sue componenti vettoriali.
Rappresentazione grafica delle componenti di un vettore
Consideriamo il vettore A nel piano cartesiano con le sue proiezioni sugli assi x e y, cioè A_x e A_y, che costituiscono le sue componenti. Il vettore A rappresenta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti A_x e A_y.
Calcolo del modulo e della direzione di un vettore
Per calcolare il modulo di un vettore, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora, dove A = √(A_x^2 + A_y^2). Se θ è l’angolo tra l’asse delle ascisse e il vettore A, allora A_y = A sin θ e A_x = A cos θ. L’angolo θ può essere calcolato utilizzando la relazione: θ = arctan(A_y / A_x).
Esercizi
1. Una forza di 250 N agisce con un angolo di 30° rispetto all’asse delle ascisse. Calcoliamo le componenti del vettore forza:
A_y = A sin θ = sin 30° = 250 · 0.5 = 125 N
A_x = A cos θ = cos 30° = 250 · 0.866 = 216.5 N
2. Un corpo si muove dal punto (6.0 cm; 1.6 cm) al punto (2.0 cm; 4.5 cm). Calcoliamo il modulo e la direzione del movimento:
Le componenti del vettore sono:
A_x = 2.0 – 6.0 = – 4.0 cm
A_y = 4.5 – 1.6 = 2.9 cm
Calcolando il modulo del vettore, otteniamo A = √((-4.0)^2 + (2.9)^2) = 4.9 cm
Per la direzione, calcoliamo θ usando: arctan(-0.725) = – 35.9°.
