Equazione di Bernoulli: formule

L’equazione di Bernoulli ha un importante ruolo nella dinamica dei fluidi ed è derivabile dalle leggi della meccanica Newtoniana.
Si può ricavare dal teorema dell’energia cinetica poiché rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia nel caso di un moto di un fluido.

Secondo il teorema dell’energia cinetica il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su un sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema
L’equazione di Bernoulli vale i fluidi incomprimibili e non viscosi ed è applicabile solo ai moti stazionari.

Formule

Esprime  una relazione tra la velocità del fluido e la sua pressione ed è espressa come:
p + ½ ρv² + ρgh = costante  (1)
dove:

• p è la pressione assoluta
• ρ è la densità del fluido
• v è la velocità del fluido
• h è l’altezza rispetto a un punto di riferimento
• g è l’accelerazione di gravità

Si noti che il termine ½ ρv² rappresenta l’energia cinetica per unità di volume. Infatti per definizione la densità è data dal rapporto tra massa e volume:

ρ = m/V
sostituendo il valore di ρ nell’espressione ½ ρv² si ha:
½ ρv²  = ½ mv²/V = energia cinetica /V

Con ragionamento analogo si ottiene che il termine ρgh = mgh/V che rappresenta l’energia potenziale per unità di volume. Si consideri un fluido durante il suo percorso dal punto 1 al punto 2 che sono due punti qualsiasi del percorso

L’equazione (1) si esprime come:

p₁ + ½ ρv₁² + ρgh₁ = p₂ + ½ ρv₂² + ρgh₂ (2)

Fluidi statici

Si consideri un fluido statico in cui v₁= v₂ = 0

La (2) diventa:
p₁ + ρgh₁ = p₂ + ρgh₂

Si può semplificare ulteriormente l’equazione prendendo h₂= 0. Si può infatti scegliere un’altezza pari a zero, prendendo tutte le altre altezze relative a questa. In tal caso, otteniamo
p₁ + ρgh₁ = p₂

Secondo questa equazione nei fluidi statici la pressione aumenta con la profondità in accordo con la legge di Stevino

Equazione di Bernoulli a profondità costante

Un altro caso tipico è quello in cui il fluido si muove a profondità costante ovvero h₁=h₂ = h

Dalla (2) si ha:
p₁ + ½ ρv₁² + ρgh = p₂ + ½ ρv₂² + ρgh
ovvero
p₁ + ½ ρv₁² = p₂ + ½ ρv₂²