Gli indici di dispersione o di variabilità consentono di comprendere quanto la distribuzione delle misurazioni si addensano o si disperdono rispetto all’indice di tendenza centrale. Quindi gli indici di dispersione misurano quanto i valori presenti nella distribuzione distano da un valore centrale scelto a riferimento. Il valore centrale è generalmente un indice di posizione. I valori centrali maggiormente utilizzati sono media e mediana. Questi indici consentono di determinare se i dati disponibili sono lontani dal valore centrale indicando se quest’ultimo è adeguato a rappresentare la popolazione oggetto dello studio.
Varianza
Tra gli indici di dispersione vi è la varianza detta anche deviazione standard quadratica. Essa è indicata con il simbolo σ2
È definita come la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra ogni valore della distribuzione e un valore medio di riferimento
La sua radice quadrata della varianza, presa con segno positivo, è lo scarto quadratico medio detto deviazione.
Detto Xm il valore medio calcolato come:
Xm = x1 + x2 + … + xN/N
Dove x1, x2 e xN sono i valori delle singole misure e N è il numero di misurazioni effettuate.
Le differenze: d1 = x1 – Xm, d2 = x2 – Xm, …, dn = xn – Xm,
esprimono le deviazioni o scarti dalla media. Esse possono positive, negative o nulle.
Pertanto la varianza è pari a:
σ2 = 1/N (Σ (xi – Xm)2 = 1/N Σ (dn)2
Da un punto di vista dimensionale la varianza non ha la stessa dimensione della grandezza a cui essa si riferisce, ma sono quelle della grandezza elevate al quadrato.
Ciò non consente di usare la varianza come errore da associare alla grandezza misurata, poiché le due grandezze non sono omogenee
Esempio
Si supponga di disporre delle seguenti misurazioni:
X = {13, 16, 18, 20, 23}
Il valore medio è pari a:
Xm = 13+ 16+ 18+ 20+ 23/5 = 18
Essendo 5 il numero di misurazioni
Pertanto la varianza è pari a:
σ2 = (13-18)2 + (16-18)2 + (18-18)2 +(20-18)2 + (23-18)2/5 = 25 + 4 +0 +4 + 25/5 = 2.3
Scarto quadratico medio o deviazione standard
Tra gli indici di dispersione vi è lo scarto quadratico medio che costituisce un errore da associare alla grandezza misurata avendo unità di misura ad essa omogenea .
Lo scarto quadratico medio è definito come la radice quadrata della varianza:
σ = √ σ2
Pertanto nel caso dell’esempio precedente lo scarto quadratico medio è pari a √2.3 =1.5