Gli indici di posizione risultano di fondamentale importanza per descrivere in modo sintetico un insieme di misurazioni tramite un unico valore numerico.
Per limitare l’errore associato ad ogni misurazione sperimentale, quando è possibile, si deve ripetere più volte tale misurazione. In questo caso si ha una serie di misure distribuite in un certo intervallo di valori. Il valore attorno a cui sono distribuite le misure può essere ottenuto tramite gli indici di posizione.
Gli indici di posizione, utilizzati tra l’altro in campo statistico per la determinazione di intervalli di confidenza e verifica di ipotesi, sono la semisomma, la media, la mediana e la moda.
Semisomma
La semisomma è uno tra gli indici di posizione usato solo in casi limitati ovvero quando si dispone di poche misurazioni. La semisomma è definita come:
semisomma = xmin + xmax/2
essendo xmin il valore minimo e xmax il valore massimo.
Media
La media, o più propriamente la media aritmetica, è data dal rapporto tra la somma di tutte le misurazioni e il numero di misurazioni stesse.
Si definisce il valore medio Xm come:
Xm = x1 + x2 + … + xN/N
Dove x1, x2 e xN sono i valori delle singole misure e N è il numero di misurazioni effettuate.
Ad esempio se la massa di un oggetto in 10 misurazioni ha dato i seguenti valori espressi in grammi:
| 2.53 | 2.51 | 2.52 | 2.55 | 2.56 | 2.55 | 2.53 | 2.59 | 2.58 | 2.58 |
Il valore medio è dato da:
Xm = 2.53 + 2.51 + 2.52 + 2.55 + 2.56 + 2.55 + 2.53 + 2.59 + 2.58 + 2.58 /10 = 2.55
La media è una grandezza significativa quando il numero di misurazioni è elevato.
Infatti quanto maggiore è il numero delle misure tanto migliore è compensazione degli scarti per eccesso con quelli per difetto.
Mediana
La mediana rappresenta quel valore che, una volta ordinati i dati in ordine crescente, lascia sia alla sua sinistra sia alla sua destra la metà dei dati.
Si supponga di disporre delle seguenti misurazioni:
X = {13, 16, 18, 20, 23, 27, 30}
La mediana è 23 che lascia alla sua sinistra e alla sua destra 3 valori.
Nel caso in cui le misurazioni sono in numero pari si procede nel modo seguente.
Si supponga di disporre delle seguenti misurazioni:
X = {13, 16, 18, 20}
Un gruppo pari di numeri avrà due numeri nel mezzo che, nel caso, sono 16 e 18. Si fa la semisomma dei due numeri ovvero 16 + 18/2 = 17 e questo numero costituisce la mediana. Si noti che il valore della mediana non compare necessariamente nella sequenza di misurazioni.
La posizione che occupa la mediana in una serie di misurazioni si può calcolare dalla formula seguente:
posizione della mediana = N + 1 / 2
dove N è il numero di misurazioni.
Supponendo si disponga di 9 misurazioni la posizione della mediana è data da 9 + 1 / 2 = 5. Quindi la mediana si trova in quinta posizione.
Il vantaggio che offre la mediana rispetto alla media è quello di non subire influenza per la presenza di dati anomali che influenzano la media piuttosto che la mediana
Ad esempio si supponga di disporre delle seguenti misurazioni:
X = {10, 13, 15, 20, 22, 26, 60}
La media è data da:
Xm = 10 + 13 + 15 + 20 + 22 + 26 + 60/7 = 23.7
e il suo valore è influenzato dal valore anomalo 60 che si discosta notevolmente dagli altri.
La mediana, invece, è 20 che è più rappresentativo della distribuzione X
Moda
La moda o norma è uno degli indici di posizione ed è la modalità con la frequenza assoluta più alta delle altre.
Ad esempio si supponga di disporre delle seguenti misurazioni:
X = {10, 10, 11, 12, 12, 13,13,13, 14,14, 15}
La moda è rappresentata dal valore 13 che si ripete con maggiore frequenza
Si noti che una distribuzione può anche non avere moda se nessun valore ha una frequenza maggiore degli altri come nel caso di:
X = {10, 10, 11, 11, 13,13, 14,14}
In una distribuzione si può verificare la presenza di due o più mode. Un esempio di distribuzione bimodale è il seguente:
X = {10, 10, 10, 12, 12, 13,13,13, 14,14, 15}
In cui le mode sono 10 e 13 che si presentano con la stessa frequenza più alta degli altri valori.
La presenza di due o più mode all’interno di una distribuzione potrebbe significare una disomogeneità. Potrebbero quindi esistere al suo interno due o più sottogruppi omogenei al loro interno, ma distinti l’uno dall’altro per un’ulteriore caratteristica rispetto a quella osservata