Disuguaglianza di Clausius

La disuguaglianza di Clausius costituisce un altro modo di esprimere il secondo principio della termodinamica per la correlazione con l’entropia. La disuguaglianza di Clausius si applica a qualsiasi ciclo del motore reale e implica una variazione negativa dell’entropia sul ciclo. Cioè, l’entropia ceduta all’ambiente durante il ciclo è maggiore dell’entropia trasferita al motore dal calore del serbatoio caldo.

Mette in relazione la variazione di entropia di un sistema termodinamico con il calore fornito al sistema. Pertanto, la disuguaglianza implica una riduzione dell’entropia nel sistema durante il ciclo termodinamico.

È uno dei primi teoremi che affronta  il concetto di entropia e mostra la relazione proporzionale tra entropia e flusso di energia.

Si considerino due macchine termiche delle quali:

• una opera secondo il ciclo di Carnot (ciclo semplice, simmetrico e reversibile caratterizzato da due trasformazioni isoterme reversibili : l’una a temperatura T₁ e l’altra a temperatura T₂ con( T₁ › T₂)  e due trasformazioni adiabatiche)
• l’altra seguendo un ciclo irreversibile.

Si supponga che entrambe le macchine assumano la stessa quantità di calore Q_H da una sorgente.

La macchina termica  opera in modo irreversibile ha un’efficienza minore rispetto a quella che opera secondo il ciclo di Carnot. Pertanto si ha che la prima rilascia una maggior quantità di calore Q_L,irrev  rispetto a quella che opera secondo il ciclo di Carnot che rilascerà una quantità di calore Q_L,rev .

Macchina che opera in modo reversibile

Si consideri per prima la macchina che opera in modo reversibile seguendo il ciclo di Carnot per la quale il trasferimento di calore può avvenire  solo in condizioni isotermiche.  In tal caso l’integrale ciclico del rapporto tra il calore trasferito e la temperatura è dato da: 

∮ δQ/T = Q_H/T_H – Q_L,rev / T_L

Poiché nel caso di una trasformazione reversibile il rapporto dei flussi di calore è uguale al rapporto tra le temperature ovvero:

Q_L/Q_H = T_L/T_H

Si ha:

Q_Lrev/T_L = Q_H/T_H

Quindi

Q_H/T_H  –  Q_L,rev / T_L = 0

si ha che per una macchina che lavora in modo reversibile

∮ δQ/T = 0

Macchina che opera in modo irreversibile

Consideriamo la macchina che opera in modo irreversibile: tenendo conto che il calore assunto Q_H è lo stesso di quello assunto dalla macchina che opera secondo il ciclo di Carnot;  il trasferimento di calore Q_L,irrev > Q_L,rev quindi Q_L,irrev –  Q_L,rev > 0.

Detta Q_diff  la differenza Q_L,irrev –  Q_L,rev allora l’integrale ciclico per la macchina che opera in modo irreversibile è dato da:

∮ δQ/T = Q_H/T_H – ( Q_L,rev/ T_L + Q_diff/T_L) < 0

Generalizzando  si ha che sia per macchine che operano in modo reversibile che in modo irreversibile ∮ δQ/T ≤ 0

Tale espressione è detta disuguaglianza di Clausius che costituisce un altro modo di esprimere il secondo principio della termodinamica in quanto vi è una relazione tra tale disuguaglianza e l’entropia infatti la quantità di entropia aggiunta al sistema durante il ciclo è definita come:

ΔS = ∮ δQ/T

La funzione di stato entropia dipende solo dallo stato iniziale e dallo stato finale e non da come si giunga allo stato finale partendo da uno stato iniziale.

In un processo ciclico reversibile l’entropia iniziale è uguale all’entropia finale per cui ΔS = 0 mentre nel caso di un processo irreversibile ΔS < 0.

Se può essere misurata sia  l’energia fornita al sistema sotto forma di calore che la temperatura allora la disuguaglianza di Clausius può essere sfruttata per sapere se il processo avviene in modo reversibile in quanto, in tal caso, ∮ δQ/T = 0 o in modo irreversibile in quanto il valore di tale integrale ciclico è minore di zero