Fondamenti della Formula di Rydberg e degli Spettri Atomici
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La formula di Rydberg, così denominata in onore del fisico svedese Johannes Rydberg, rappresenta una generalizzazione delle formule spettrali dell’idrogeno e permette la determinazione empirica delle lunghezze d’onda delle linee spettrali dell’idrogeno.
Un elettrone in un atomo di idrogeno, in un determinato stato stazionario con numeri quantici n, l e m, può subire transizioni ad altri stati stazionari in seguito a perturbazioni come l’interazione con un fotone. La variazione di energia associata a una tale transizione è data dalla formula:
Calcolo delle Lunghezze d’Onda e delle Transizioni Energetiche
Se l’energia varia in modo negativo, l’elettrone emette un fotone con una frequenza specifica, mentre se l’energia varia in modo positivo, l’elettrone assorbe un fotone con un’altra frequenza.
Le possibili lunghezze d’onda dei fotoni emessi da un atomo di idrogeno durante queste transizioni sono determinate dalla formula:
1/λ = R (1/nf^2 – 1/ni^2)
dove R è la costante di Rydberg che vale 109677.57 cm^-1.
Esercizi sulla Formula di Rydberg
1) Calcolare la lunghezza d’onda della seconda linea della serie di Paschen e mostrare che questa linea cade nella regione dell’infrarosso.
Nella serie di Paschen, la seconda linea è ottenuta per n1 = 3 e n2 = 5. Utilizzando la formula di Rydberg, si ottiene una lunghezza d’onda di 1282 nm, indicativa di radiazioni nell’infrarosso.
2) Calcolare la lunghezza d’onda per una transizione da ni = 6 a nf = 3 in un atomo di idrogeno.
Calcolo delle lunghezze d’onda e delle energie nell’atomo di idrogeno
La formula di Rydberg, che descrive le lunghezze d’onda emesse da un atomo di idrogeno nelle transizioni tra diversi livelli energetici, può essere utilizzata per calcolare le lunghezze d’onda e le energie associate alle transizioni degli elettroni all’interno dell’atomo.
Calcolo di (n_i) per una transizione a (n_f = 2)
Consideriamo una transizione in cui un elettrone in un atomo di idrogeno passa da (n_f = 2) emettendo un fotone con una lunghezza d’onda di 410.1 nm. Convertendo la lunghezza d’onda in cm, otteniamo 4.101 x 10^-5 cm.
Applicando la formula di Rydberg e risolvendo per (n_i), otteniamo che (n_i = 6).
Confronto delle energie emesse da due elettroni in transizioni diverse
Dato un primo elettrone che passa da (n = 8) a (n = 2) e un secondo elettrone che passa da (n = 2) a (n = 1), possiamo calcolare le rispettive energie emesse.
– Per il primo elettrone, la lunghezza d’onda corrispondente è di 3.890 x 10^-7 m, mentre per il secondo elettrone è di 1.216 x 10^-7 m.
Utilizzando le formule appropriate, otteniamo che l’energia emessa dal primo elettrone è di 5.106 x 10^-19 J, mentre quella emessa dal secondo elettrone è di 1.634 x 10^-18 J.
Pertanto, il secondo elettrone emette un’energia maggiore rispetto al primo durante le rispettive transizioni nell’atomo di idrogeno.
