Differenziali Esatti e Non Esatti in Termodinamica

Nel campo della termodinamica, alcune grandezze come l’energia interna U, l’entalpia H e l’entropia S sono considerate funzioni di stato, dove interessa solo lo stato iniziale e quello finale, e non il percorso attraverso cui si è giunti dallo stato iniziale a quello finale.

La variazione di queste grandezze, ad esempio U_f – U_i (dove U_f è l’energia interna finale e U_i è l’energia interna iniziale) è indicata con ΔU.

Al contrario, alcune grandezze come il lavoro w e il calore q non sono funzioni di stato, e quindi Δw e Δq non sono adatte a rappresentare la variazione in quanto è più corretto rappresentarle come dw e dq.

Inoltre, per comprendere meglio questo concetto, consideriamo il differenziale df, in cui df = 2xy^3dx + 3x^2y^2dy.

Se esiste una funzione f = f(x,y) tale che la seguente equazione sia soddisfatta: df = (∂f/∂x)_ydx + (∂f/∂y)_xdy, allora possiamo affermare che il differenziale df è esatto.

Tuttavia, nel caso del differenziale dg = 2x^2y^3dx + 3x^3y^2dy, i coefficienti di dx e dy non sono le derivate parziali di g, quindi il differenziale dg non è esatto e non esiste una funzione g(x,y) tale che dg possa essere rappresentato come l’equazione (6).

Entrambi i differenziali df e dg sono integrabili in determinati intervalli, ma solo df può essere rappresentato come l’integrale di una funzione esatta, mentre dg non può.

Inoltre, vengono esaminate le conseguenze del Secondo principio della termodinamica, che stabilisce che per un processo reversibile, dq/T è esatto, mentre dq_rev /T non è esatto ma lo è dq_rev /T. Questo implica che dq_rev /T è il differenziale di una nuova funzione (funzione di stato) il cui integrale è indipendente dal percorso. Questa funzione è nota come entropia, indicata con S ed è una funzione di stato.