Reticolo cubico a facce centrate: cella unitaria, fattore di impacchettamento

Molti metalli tra cui alluminio, rame, piombo, platino, nichel, oro e argento cristallizzano secondo un reticolo cubico a facce centrate.

Cella unitaria

La cella unitaria di un reticolo cubico a facce centrate (FCC) è costituita da un cubo ai cui vertici vi sono 8 atomi, molecole o ioni e uno al centro di ogni faccia del cubo

Le otto sfere presenti ai vertici nel loro insieme contribuiscono nel loro insieme all’equivalente di una sfera mentre le sei sfere presenti sulle facce del cubo contribuiscono nel loro insieme all’equivalente di 6/2= 3 pertanto il numero di sfere per ogni cella unitaria è pari 3+1 = 4.

Detto a il lato del cubo e r il raggio di una sfera si ha che la diagonale del cubo D è pari:
D = r + 2r + r = 4r  (1)

Per il teorema di Pitagora:
D  = √a²+ a² = a√2  (2)

Uguagliando la (1) con la (2) si ha:
4r = a√2
Da cui r = a√2/4 = a/√8
e
a = r√8

Il volume della cella unitaria V è quindi pari a:
V = a³ = (r√8)³ = 8 r³√8

Fattore di impacchettamento

Il fattore di impacchettamento atomico  APF ovvero la frazione del volume della struttura cristallina occupata dagli atomi è dato dalla formula:
APF = N_atomi V_atomo/ V_{cella unitaria}

essendo N_atomi il numero di atomi presenti nella cella unitaria, V_atomo il volume di ogni atomo e V_{cella unitaria} il volume occupato dalla cella unitaria.

Nel caso di un reticolo cubico a corpo centrato il numero di atomi presenti nella cella unitaria è pari a 4.

Il volume occupato da 4 atomi è pari a:
V = 4 · 4 πr³/3 = 16 πr³/3
Da cui APF = (16 πr³/3)/( 8 r³√8) = 0.740