Si propongono 5 esercizi sul principio di conservazione dell’energia esposto nel 1942 dal fisico tedesco Julius Robert von Mayer. Il principio di conservazione dell’energia, come il principio di conservazione della massa, noto come legge di Lavoisier, è una legge empirica che si basa su osservazioni sperimentali secondo cui l’energia non è creata né distrutta ma può trasformarsi da un tipo all’altro.
Le forme comuni di energia includono termica, elettrica, chimica, meccanica, cinetica e potenziale. Secondo il principio di conservazione dell’energia si può anche affermare che la somma di tutti i tipi di energia è costante.
Molte applicazioni implicano la trasformazione dell’energia solo tra due o tre tipi. Ad esempio, nei problemi di dinamica, la conservazione dell’energia tiene conto di due tipi di energia, cioè energia cinetica e energia potenziale e in alcuni casi l’attrito trascurando l’effetto di altre forme come quella chimica, termica o elettrica.
I 5 esercizi sul principio di conservazione dell’energia proposti sono svolti, commentati e corredati di opportuni rimandi agli aspetti teorici
5 esercizi sul principio di conservazione dell’energia
- Un bambino è seduto su uno slittino in cima a una collina alta 23.7 m. Se il bambino e lo slittino hanno una massa totale di 40.0 kg determinare la velocità quando raggiungeranno il fondo della collina. Si consideri nullo l’attrito
Nello stato iniziale che denominiamo stato 1 il sistema (bambino + slittino) sono fermi quindi l’energia cinetica K è pari a zero. L’energia potenziale U è pari a mgh dove m è la massa, g è l’accelerazione di gravità pari a 9.8 m/s2 e h è l’altezza.
Pertanto nello stato 1 si ha: K1 = 0 e U1 = 40.0 · 9.81 · 23.7 = 9300 J
Quando il sistema raggiunge il fondo della collina tutta l’energia potenziale si è trasformata in energia cinetica che è pari a K = ½ mv2
Pertanto nello stato 2 si ha: K2 = ½ · 37.3 · v2
Per il teorema di conservazione dell’energia si ha che l’energia nello stato 1 è uguale all’energia nello stato 2 quindi: K1 + U1 = K2 + U2. Sostituendo i valori calcolati:
0 + 9300 = ½ · 37.3 · v2 + 0
9300 = 18.65 v2
Dividendo ambo i membri per 18.65 si ha:
8672/18.65 = 498.6 = v2
Da cui v = √498.6 = 22.3 m/s
- Una palla di gomma avente massa 0.25 kg è lasciata cadere da un’altezza di 10 m. Quando raggiunge il suolo essa rimbalza perdendo, nella collisione, ogni volta il 10% dell’energia cinetica. Calcolare l’altezza massima che raggiunge la palla dopo quattro collisioni. Si assuma g = 9.8 m/s2
L’energia potenziale iniziale U1 è pari a U1 = mgh = 0.25 · 9.8· 10 = 24.5 J
Cadendo al suolo tutta l’energia potenziale si è trasformata in energia cinetica. Quando colpisce in suolo la prima volta perde il 10% di tale energia ovvero 2.45 J quindi al primo impatto la sua energia cinetica K1 è pari a 24.5 – 2.45 = 22.05 J
Al secondo impatto l’energia cinetica K2 è pari a 22.05 – 2.205 = 19.85 J
Al terzo impatto l’energia cinetica K3 è pari a 19.85 – 1.985 = 17.87 J
Al quarto impatto l’energia cinetica K4 è pari a 17.87 – 1.787 = 16.1 J
Per il teorema di conservazione dell’energia:
16.1 = mgh = 0.25 · 9.8 · h = 2.45 h
Da cui h = 16.1/2.45 = 6.6 m
- Un corpo di massa 500 kg che viaggia a una velocità di 4.0 m/s si trova a un’altezza di 15 m. Calcolare la velocità a cui raggiunge il suolo supponendo che esso perda 5000 J.
L’energia potenziale iniziale è pari a U1 = 500 · 9.8 · 15 = 73500 J
L’energia cinetica iniziale è pari a K1= ½ (500 · 42) = 4000 J
L’energia potenziale quando raggiunge il suolo è pari a zero.
73500 + 4000 = 0 + K2 + 5000
da cui K2 = 72500 J
quindi ½ · 500 · v2 = 72500 ovvero 250 · v2 = 72500
v2 = 72500/250 = 290 e v = √290 = 17 m/s
- Una macchinina con una massa di 112 g viene spinta lungo un binario in modo che abbia una velocità di 3.00 m/s. Essa colpisce una molla (k = 925 N/m) all’estremità del binario, provocandone la compressione. Determinare di quanto di è compressa la molla prima che la macchina si fermi
L’energia cinetica iniziale si è convertita in energia potenziale elastica. L’energia cinetica iniziale K1 è pari a ½ 0.112 kg · (3.00)2 = 0.504 J
0.504 = ½ kx2 = ½ · 925 x2 = 462.5 x2
Da cui x2 = 0.504/462.5 = 0.00109
x = √ 0.00109 = 0.0330 m
- Un sasso viene lasciato cadere da un’altezza di 22 m. Si calcoli la sua velocità 2 m prima che tocchi il suolo. Si consideri nullo l’attrito con l’aria
L’energia cinetica iniziale è pari a K1= 0
L’energia cinetica potenziale è pari a U1= mgh = m · 9.81 · 22 = 215.82 m
L’energia cinetica a 2 m dal suolo è pari a K2= ½ m v2
L’energia potenziale a 2 m dal suolo è pari a U2= m · 9.81 · 2 = 19.62 m
Per il teorema di conservazione dell’energia:
0 + 215.82 m = ½ m v2 + 19.62 m
Dividendo ambo i membri per m si ha:
215.82 = ½ v2 + 19.62
Da cui 195.58 = ½ v2
Moltiplicando ambo i membri per 2 si ha:
391.2 = v2 da cui v = √391.2 = 17.8 m/s
Si noti che nella risoluzione dei 5 esercizi sul principio di conservazione dell’energia sono stati fatti i singoli calcoli. Tuttavia, per evitare approssimazioni nelle cifre significative, si possono scrivere dapprima le formule senza l’indicazione dei valori e poi, dopo le opportune semplificazioni ottenere l’equazione risolutiva in cui si sostituiscono i valori numerici