Si propongono esercizi sul pendolo ovvero un corpo sospeso a un punto fisso privo di attrito tramite un’asta considerata priva di massa di lunghezza L in grado di oscillare rispetto alla sua posizione di equilibrio svolti e commentati.
Se un pendolo viene messo sollecitato dalla sua posizione di equilibrio in modo che oscilli il suo movimento sarà periodico assimilabile a un oscillatore armonico.
Si definisce periodo del pendolo T la quantità di tempo necessaria per completare un ciclo completo tra le due posizioni estreme. Per descrivere il moto del pendolo si può far uso di un’altra quantità che è la frequenza delle oscillazioni f che si verificano per unità di tempo ed è data dall’inverso del periodo: f = 1/T.
La distanza massima di spostamento della massa dalla sua posizione di equilibrio è definita come l’ampiezza dell’oscillazione. Quando un pendolo viene spostato dalla sua posizione di equilibrio esso inizia a oscillare e il movimento lo porta oltre la posizione di equilibrio.
Nel corso dell’oscillazione cambia la sua direzione in modo che sia diretto verso la posizione di equilibrio ed è soggetto a una forza detta forza di ripristino che riporta il pendolo verso la sua posizione di equilibrio a θ = 0. La forza netta sul corpo è tangente all’arco ed è uguale a − mg sinθ e la tensione nella corda annulla esattamente la componente mg cosθ parallela alla corda dove g è l’accelerazione di gravità.
Il periodo è dato dall’espressione:
questo risultato indica che i fattori che influenzano il periodo di un pendolo sono la lunghezza dell’asta e l’accelerazione dovuta alla gravità. Il periodo è invece indipendente da altri fattori, come, ad esempio, la massa.
Gli esercizi sul pendolo proposti hanno grado di difficoltà crescente
Esercizi sul pendolo svolti e commentati
- Calcolare la lunghezza dell’asta a cui è appeso un pendolo se il suo periodo di oscillazione è di 1.2 s. Si consideri pari a 9.8 m/s2 l’accelerazione di gravità
Consideriamo la formula T = 2π √L/g. Elevando al quadrato ambo i membri si ottiene: T2 = 4π2L/g
moltiplicando ambo i membri per g e dividendo per 4π2 si ottiene:
T2g/4π2 = L
Sostituendo i valori noti si ha L = (1.2)2· 9.8/4(3.14)2 = 14.1/39.4 = 0.36 m
- Calcolare la frequenza di oscillazione di un pendolo sapendo che l’asta rigida a cui esso è sospeso ha una lunghezza di 1.0 m. Si consideri pari a 9.8 m/s2 l’accelerazione di gravità
Consideriamo la formula T = 2π √L/g. Sostituiamo i valori noti:
T = 2 ( 3.14) √1.0/9.8 = 2.0
Poiché f = 1/T si ha che f = 1 / 2.0 = 0.50 Hz
- Calcolare l’accelerazione di gravità in un pianeta del Sistema Solare sapendo che l’asta rigida a cui esso è sospeso ha una lunghezza di 0.15 m e che la frequenza di oscillazione è di 1.59 Hz
Per applicare la formula T = 2π √L/g è necessario calcolare il periodo T. Poiché f = 1/T si ha che T = 1/f = 1/1.59= 0.63 s. Moltiplichiamo ambo i membri della formula T2 = 4π2L/g per g e dividiamo per T2. Si ha:
g = 4π2L/T2 da cui sostituendo i valori noti si ha: g = 4(3.14)2·0.15/(0.63)2 = 14.9 m/s2
Tenendo conto che la risposta va data con due cifre significative g = 15 m/s2
- Calcolare di quanto deve essere cambiata la lunghezza dell’asta rigida a cui è sospeso un pendolo affinché il suo periodo triplichi
Detto T1 il periodo del pendolo. Si ha T1= 2π √L1 /g
Poiché si vuole che il periodo sia triplicato si deve verificare che esso assuma il valore 3 T1 quindi T2 = 3 T1
Pertanto T2 = 3 T1= 2π √L2 /g
3(2π √L1 /g) = 2π √L2 /g. Semplificando si ottiene: 3√L1 = √L2
Elevando ambo i membri al quadrato si ottiene: 9 L1 = L2
Ciò implica che per triplicare il periodo del pendolo la lunghezza dell’asta rigida deve aumentare di 9 volte
- Un pendolo ha una frequenza di 0.50 Hz. Calcolare il periodo quando la lunghezza dell’asta rigida quadruplica. Si consideri pari a 9.8 m/s2 l’accelerazione di gravità
Il periodo del pendolo è pari a T = 1/f = 1/0.50 =2.0 s
T = 2π √L/g
Elevando al quadrato ambo i membri si ottiene: T2 = 4π2L/g
moltiplicando ambo i membri per g e dividendo per 4π2 si ottiene:
T2g/4π2 = L da cui L = (2.0)2· 9.8/4(3.14)2 = 39.2/39.4 = 0.99 m
Poiché la lunghezza della corda deve quadruplicare si ha L = 4(0.99) =3.96 m
Sostituendo tale valore nella formula T = 2π √L/g si ottiene:
T = 2(3.14) √3.96/9.8 = 4.0 s