La definizione di velocità istantanea si basa sulla velocità media tra due punti del percorso in cui si assume che il tempo e lo spostamento tra i due punti si avvicinino allo zero. Matematicamente, possiamo rappresentare la posizione x come una funzione continua del tempo indicata come x(t).
Concetto di Velocità Istantanea
Indice Articolo
L’espressione della velocità media tra due punti 1 e 2 può essere rappresentata come:
[v_{media} = frac{x(t_{2}) – x(t_{1})}{t_{2} – t_{1}}]
Per calcolare la velocità istantanea in una determinata posizione, definiamo (t_{1} = t) e (t_{2} = t + Delta t).
Sostituendo queste espressioni nell’equazione della velocità media e considerando il limite per (Delta t to 0), otteniamo:
[lim_{Delta t to 0} frac{x(t + Delta t) – x(t)}{Delta t} = frac{dx}{dt}]
Pertanto, la velocità istantanea di un corpo rappresenta il limite della velocità media quando il tempo trascorso si avvicina allo zero, ovvero la derivata di x rispetto a t.
Grafico della Velocità Istantanea
Rappresentando temporalmente lo spazio sulle ascisse e lo spazio sulle ordinate, la velocità istantanea è rappresentata dal valore della retta tangente nel punto t.
Esempi di Calcolo della Velocità Istantanea
1.
Calcolo della Velocità Istantanea alle 10.05 e 10.15
Derivando l’equazione del moto x(t) = 6t² + t + 8, otteniamo dx/dt = 12t + 1.
A t = 0 (corrispondente alle 10.05), la velocità istantanea è: dx/dt = 12(0) + 1 = 0,017 m/s.
A t = 10 min (corrispondente alle 10.15), la velocità istantanea è: dx/dt = 12(10) + 1 = 2,0 m/s.
2.
Velocità Istantanea di un Corpo per un Tempo di 3 Secondi
Considerando la funzione di posizione x definita come 5t² + 2t + 4, derivandola rispetto a t otteniamo dx/dt = 10t + 2.
Per t = 3 s, la velocità istantanea è: dx/dt = 10(3) + 2 = 34 m/s.
Calcolare la velocità istantanea è fondamentale per comprendere il movimento di un oggetto in un dato istante, fornendo informazioni cruciali sullo spostamento e la direzione del corpo.
