Velocità istantanea: esercizi

La velocità istantanea è la velocità media tra due punti del percorso nel limite in cui il tempo, e quindi lo spostamento, tra i due punti si avvicina allo zero.
Per illustrare matematicamente questo concetto dobbiamo esprimere la posizione x come una funzione continua di t indicata come x(t).

L’espressione della velocità media tra due punti 1 e 2 usando questa notazione è:
v_media = x(t₂) – x(t₁)/t₂ – t₁
Per trovare la velocità istantanea in ogni posizione si pone t₁= t e t₂ = t + Δt

Sostituendo queste espressioni nell’equazione della velocità media e considerando il limite per Δt → 0 si ha:
lim _Δt→0  x(t + Δt) – x(t)/Δt = dx/dt

Pertanto la velocità istantanea di un corpo è il limite della velocità media quando il tempo trascorso si avvicina allo zero, o la derivata di x rispetto a t.

Portando in grafico, sull’asse delle ascisse il tempo e sull’asse delle ordinate lo spazio, la velocità istantanea è il valore della retta tangente nel punto t

Esercizi

• Sia x(t) = 6 t² + t + 8 l’equazione del moto di un corpo. Se le ore 10.05 corrispondono a t = 0 calcolare la velocità istantanea alle 10.05 e alle 10.15

a)Derivando la funzione x(t) = 6 t² + t + 8 si ha che dx/dt = 12 t + 1

Poiché t = 0 alle 10.05 si ha che la velocità istantanea dx/dt = 12(0) + 1 = 1m/ min = 1 m/60 s = 0.017 m/s

b) Alle 10.15 il tempo t è pari a 10.15 – 10.05 = 10 min

pertanto dx/dt = 12 t + 1 = 12(10) + 1 = 121 m/min = 121 m/60 s = 2.0 m/s

•  Calcolare la velocità istantanea di un corpo che viaggia lungo una retta per un tempo di 3 secondi, con una funzione di posizione x definita come 5t² + 2t + 4

Derivando la funzione 5t² + 2t + 4 rispetto a t si ha:

dx/dt = 10 t + 2

Poiché t = 3 s si ha:

dx/dt = 10(3) + 4 = 34 m/s